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We give mean value estimates, over friable integers, for non-negative multiplicative functions under general average hypotheses on their values at prime arguments. 1. Historique du problème Les entiers friables, ou sans grand facteur premier, font l’objet, depuis une quinzaine d’années, de recherches intensives en théorie des nombres et en algorithmique. D’une part, leurs propriétés de factorisation (à l’origine de la dénomination 〈〈 friable 〉〉, plus suggestive et plus spécifique que 〈〈 lisse 〉〉) leur attribuent en effet un rôle essentiel dans la cryptographie actuelle. D’autre part, leur apparition naturelle dans le processus de décomposition canonique d’un entier n sous forme d’un produit n = ab, où a regroupe les 〈〈 petits 〉〉 et b les 〈〈 grands 〉〉 facteurs premiers, fait de l’étude des entiers friables un aspect incontournable de la théorie du crible et de toute branche de l’arithmétique où le crible intervient de manière essentielle. À l’appui de cette opinion, on versera ainsi, entre autres, l’incidence des entiers friables dans la méthode du cercle, due en particulier aux travaux de Vaughan et Wooley (voir par exemple le chapitre 12 de [46]) et leur apparition dans les versions quantitatives du 〈〈 lemme fondamental 〉〉 du modèle de Kubilius en théorie probabiliste des nombres — cf. [44]. Désignons par P (n) le plus grand facteur premier d’un entier naturel positif n avec la convention P (1) = 1 et par S(x, y) := {n : n x, P (n) y} l’ensemble des entiers y-friables n’excédant pas x. Le cardinal Ψ(x, y) := |S(x, y)| a évidemment reçu une attention particulière de la part des chercheurs, depuis Dickman [10] et de Bruijn [5] : voir en particulier Hildebrand [20], Hildebrand– Tenenbaum [22], Saias [35], et la synthèse [24]. Classification AMS 2000 : primaire 11N37, secondaire 11N60. 2 G. Tenenbaum & J. Wu Dans ce travail, nous nous intéressons au problème de la moyenne d’une fonction multiplicative f sur les entiers friables, autrement dit du comportement asymptotique de la fonction sommatoire Ψf (x, y) := ∑ n∈S(x,y) f(n). Alors que de nombreux cas particuliers ont été étudiés en détail, la littérature contient relativement peu de théorèmes généraux. De Bruijn & van Lint [6] ont décrit un ensemble de conditions sur f , comprenant notamment l’hypothèse que f est positive et qu’il existe une constante κ > 0 telle que, pour tout v > 1 fixé, (1·1) ∑ y<p yv f(p) p = κ log v + o(1) (y → ∞), impliquant Ψf (y, y) ∼ Cf κ(u)y(log y)κ−1 (y → ∞) où Cf est une constante positive et κ désigne l’unique fonction continue sur ]0,∞[ et dérivable sur [1,∞[ satisfaisant à { κ(u) = uκ−1/Γ(κ) (0 < u 1), u κ(u) + (1 − κ) κ(u) + κ κ(u − 1) = 0 (u > 1). Il est à noter que κ est la puissance fractionnaire de convolution d’ordre κ de la fonction classique de Dickman = 1 et l’on peut voir le résultat de de Bruijn et van Lint comme une généralisation aux fonctions multiplicatives positives de l’estimation historique de Dickman [10]. Halberstam & Richert [17] ont donné une estimation uniforme de sommes pondérées du type (1·2) ψf (x, y) = ∑ n∈S(x,y) f(n)/n, où f satisfait une forme effective de la condition (1·1). À la suite des travaux de Levin & Fainleib [28], [29], de nombreux auteurs ont donné des estimations uniformes généralisant le résultat de de Bruijn et van Lint : voir en particulier Chariev [7], [8], Fainleib [11], Levin & Chariev [30]. La méthode 1. Voir notamment : van Lint & Richert [31] pour la fonction μ(n)2/φ(n) ; Xuan [47], [48], et Smida [36], [37] pour la fonction de Piltz τk(n) ; Alladi [1], Hildebrand [21], Tenenbaum [42] pour la fonction de Möbius ; Näımi [33], [34], Ivić & Tenenbaum [26], de la Bretèche & Tenenbaum [4] pour la fonction indicatrice des entiers sans facteur carré, ainsi que, dans le cas de [26], d’autres 〈〈 s-fonctions 〉〉 ; De Koninck & Hensley [9], Alladi [2], Hensley [18] et Hildebrand [21] pour la fonction zΩ(n), où z est un nombre complexe et Ω(n) désigne le nombre total des facteurs premiers de n, comptés avec multiplicité ; Fouvry & Tenenbaum [13], [14], Balog & Pomerance [3], Granville [15], [16], pour le cas des caractères de Dirichlet. Moyennes de certaines fonctions multiplicatives sur les entiers friables 3 employée par ces auteurs repose sur l’exploitation systématique des équations fonctionnelles approchées satisfaites par les fonctions sommatoires de fonctions arithmétiques restreintes aux entiers friables ou aux entiers criblés. Il est par exemple facile, sous l’hypothèse (1·3) ∑ p z f(p) log p p − κ log z 1 (z 2) et avec une condition de croissance inoffensive concernant les puissance f(p) avec ν 2, de montrer que la quantité