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0. Bekanntlich sind nach Artin und Schreier [1] die reell-abgeschlossenen Körper als diejenigen Körper charakterisiert, die durch eine echte endliche Erweiterung algebraisch abgeschlossen werden können. In [7] fragen Diller und Dress nach einer analogen Kennzeichnung pythagoreischer Körper — das sind reelle Körper, in denen jede Quadratsumme bereits Quadrat ist, insbesondere also reell-abgeschlossene Körper. Die von ihnen gefundene Kennzeichnung sagt allerdings nur wenig über die Galoisgruppe der algebraischen Hülle aus. Schon 1957 hatte jedoch G. Whaples [19] aus anderem Anlaß eine Charakterisierung der pythagoreischen Körper mit nur einer Anordnung gefunden. Pythagoreische Körper mit genau einer Anordnung oder, was diesem gleichkommt, reelle Körper, in denen die Quadrate einen Positivitätsbereich bilden, wollen wir euklidische Körper nennen, siehe auch [6]. Aus den Ergebnissen von G. Whaples folgt: Ist für eine Primzahl p die maximale ^-Erweiterung Kp eines Körpers K eine echte, aber endliche Erweiterung, so folgt: p = 2, K ist ein euklidischer Körper und K (i) ist 2-abgeschlossen. Umgekehrt ist es für einen euklidischen Körper K leicht nachzuweisen, daß K (i) 2-abgeschlossen ist. Für die maximale 2-Erweiterung eines euklidischen Körpers gilt also K2 = K (i). Dieses Resultat scheint den Weg für eine „richtige" Ausdehnung der Artin-Schreier-Theorie der reell-abgeschlossenen Körper zu weisen: Statt algebraischabgeschlossener Körper sind 2-abgeschlossene Körper, statt beliebiger pythagoreischer nur euklidische Körper zu betrachten, und die algebraische Hülle ist durch die maximale 2-Erweüerung zu ersetzen. In der Tat erhält man so eine analoge Theorie euklidischer Körper und euklidischer Hüllen von Körpern; euklidische Hüllen sind dabei die maximalreellen Oberkörper in der maximalen 2-Erweiterung. Euklidische Körper treten noch in einem anderen Zusammenhang auf. In der neueren Theorie des Wittringes W(K) quadratischer Formen über einem Körper K werden zur Untersuchung von PF (K) die kanonischen Homomorphismen W(K)-> PF(Kpyth), Kpyth pythagoreische Hülle von K, und W(K)-> VF(KJ, KÄ reelle Hülle von K, herangezogen [12]. Aus ihnen gewinnt man z. B. Aussagen über die Torsionselemente des Wittringes. Der Erfolg dieser Methode ist verständlich, weil die pythagoreische Hülle von K der kleinste Oberkörper von K mit torsionsfreiem Wittring ist und die reellen Hüllen von K einen zu Z isomorphen Wittring besitzen. Während jedoch pythagoreische Körper durch die Torsionsfreiheit ihres Wittringes charakterisiert sind, erhält man allgemeiner, daß gerade für euklidische Körper der Wittring isomorph zu Z ist.

Euklidische Körper und euklidische Hüllen von Körpern.