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1. Im zweiten Band der Vorlesungen über die Theorie der Automorphen Functionen von Fricke und Klein [2] werden die automorphen Funktionen zu Gruppen lineargebrochener Transformationen der komplexen Zahlenkugel C, deren Grenzpunkte nicht auf einem Kreise liegen, in drei Klassen eingeteilt: ,,1. Functionen mit unendlich vielen isoliert liegenden Grenzpunkten; 2. Functionen mit einer (nicht-analytischen) Grenzcurve; 3. Functionen mit unendlich vielen (kreisförmigen oder nicht-analytischen) Grenzcurven." Eine Motivierung für diese Einteilung der — oft nach F. Klein benannten — Gruppen nach der Struktur ihrer Grenze ist der folgende Sachverhalt: Für diskontinuierliche Gruppen von lineargebrochenen Transformationen hat das Komplement ( ) der Grenze von in C, d. i. die maximale Teilmenge der Zahlenkugel, auf der diskontinuierlich operiert, entweder eine oder zwei oder unendlich viele Zusammenhangskomponenten (Lehner [3], S. 108). Läßt eine Komponente JT von ( ) fest, so ist jede weitere Komponente Jf*' von ( ) einfach zusammenhängend). Es scheint aber i. a. nicht richtig zu sein, daß die Grenze von aus den Punkten einer Jordankurve besteht, wenn ( ) genau zwei Zusammenhangskomponenten hat. Nun behandelt ein Kapitel des ersten Bandes von [2] ausführlich die „Grenzcurve" von Gruppen J, die durch die Spiegelungen an vier Kreisen Cj erzeugt werden, von denen C^ und Cj+l einander berühren, C] und C^2 einander aber weder berühren noch schneiden (/ mod 4). Ein Beweis dafür, daß es sich um eine Jordankurve handelt, fehlt jedoch. Es soll hier deshalb für eine in ähnlicher Weise nach dem Schottky-Verfahren konstruierte Klasse von Gruppen jT(ffi) gezeigt werden, daß deren Grenze eine geschlossene Jordankurve ist. Jede der Gruppen ist mit einer dieser Gruppen kommensurabel, die genannte Beweislücke ist dann also gefüllt. Im einfachsten Fall bilden die Gruppen ($ ) eine Menge von isomorphen Grenzkreisgruppen (jede ist freies Produkt dreier zyklischer Gruppen der Ordnung 2), die überabzählbar viele Kommensurabilitätsklassen repräsentiert und in der sich abzählbar unendlich viele paarweise inkommensurable Gruppen angeben lassen, die durch zweireihige Matrizen der Determinante l mit rationalen Koeffizienten dargestellt werden.

Ein Beispiel von Gruppen lineargebrochener Transformationen, deren Grenze eine Jordankurve ist.