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C'est le premier volet d'une série de deux articles visant à construire et étudier des groupes de Galois motiviques dans le cadre des motifs triangulés. On développe d'abord un formalisme général permettant d'associer à un foncteur monoïdal  f , satisfaisant à certaines conditions naturelles, une algèbre de Hopf dans la catégorie monoïdale but de  f . Ce formalisme sera ensuite appliqué à la réalisation de Betti des motifs de Morel–Voevodsky sur un corps de base  k  muni d'un plongement complexeσ  :  k  ↪  ℂ    $\sigma :k\hookrightarrow \mathbb {C}$   . On obtient ainsi une algèbre de Hopfℋ   m  o  t(  k  ,  σ  )$\mathcal {H}_{\textup {mot}}(k,\sigma )$    de la catégorie dérivée des ℚ-espaces vectoriels. En utilisant le théorème de comparaison entre cohomologie singulière et cohomologie de De Rham, on obtient une description explicite de l'algèbre unitaireℋ   m  o  t(  k  ,  σ  )   ⊗  ℂ    $\mathcal {H}_{\textup {mot}}(k,\sigma )\otimes \mathbb {C}$    montrant en particulier que le complexeℋ   m  o  t(  k  ,  σ  )$\mathcal {H}_{\textup {mot}}(k,\sigma )$    n'a pas d'homologie en degrés strictement négatifs. On en déduit une structure de ℚ-algèbre de Hopf sur le 0-ième groupe d'homologie deℋ   m  o  t(  k  ,  σ  )$\mathcal {H}_{\textup {mot}}(k,\sigma )$    dont le spectre sera baptisé le groupe de Galois motivique.

L'algèbre de Hopf et le groupe de Galois motiviques d'un corps de caractéristique nulle, I