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1 INTRODUÇÃO O Método dos Elementos de Contorno (MEC) aplicado ao problema de flexão placas tem sido utilizado com sucesso já há algum tempo. Os primeiros trabalhos encontrados na literatura que apresentam uma formulação do MEC para flexão de placas são devidos a Jaswon et al (1967) e a Jaswon & Maiti (1968). A partir de então diversos outros trabalhos foram, ao longo do tempo, ampliando o uso do MEC em problemas de placas. No que diz respeito a modelagens considerando os efeitos de grandes deslocamentos e análise de instabilidade de placas, a maioria dos trabalhos que aparecem na literatura apresentam formulações derivadas da equação diferencial de Berger (1955), que é um modelo simplificado ao 1 Professor da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, waidemam@utfpr.edu.br 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, venturin@sc.usp.br Leandro Waidemam & Wilson Sergio Venturini Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 49, p. 1-15, 2009 2 tratamento apresentado por von Kármán. O problema foi inicialmente tratado por Kamiya & Sawaki (1982) e mais recentemente pode-se destacar os trabalhos de Purbolaksono & Aliabadi (2005) e Wen et al (2005), entre outros. Já em se tratando do problema não-linear físico em placas, em particular a inclusão de modelos elasto-plásticos na formulação do MEC, poucos trabalhos são encontrados na literatura. Moshaiov & Vorus (1986) iniciaram o estudo do problema ainda utilizando uma formulação bastante simples; alguns outros trabalhos podem ser destacados dentro do mesmo tema (Chueiri & Venturini, 1995; Telles & Karan, 1998; Fernandes & Venturini, 2002). Mais recentemente apenas dois trabalhos tratando de problemas elastoplásticos de placas combinado com a não-linearidade geométrica aparecem na literatura (Supriyono & Aliabadi 2006 e 2007). 2 EQUACIONAMENTO BÁSICO Considere-se uma placa isotrópica qualquer de domínio finito Ω e contorno Γ submetida a um carregamento g perpendicular ao plano médio e distribuído em uma área de domínio Ωg ilustrada na figura 1. Figura 1 – Placa de domínio finito submetida a um carregamento distribuído. A placa pode também estar sujeita a carregamentos definidos no plano 1 2 x x , distribuídos ao longo do domínio da placa ou aplicados em seu contorno. A partir da configuração deformada da placa, representada na figura 2 apenas pelo seu plano médio, e considerando-se as forças e momentos atuantes em um elemento infinitesimal da placa, é possível escrever, para um ponto qualquer pertencente ao domínio Ω , as seguintes relações básicas: • Equação de equilíbrio para o problema de flexão de placas: + − + + = ij,ij ij ij i i,i M N w, bw, M g 0 (1) • Equação de equilíbrio para o problema de membrana: + = ij,j i N b 0 (2) onde ij M são os momentos fletores e volventes; ij N são as forças normais no plano 1 2 x x ; i b representa o carregamento de domínio da placa no plano 1 2 x x ; i M o momento aplicado no domínio da placa; e w o deslocamento transversal da placa. Na equação todas as variáveis são escritas em termos de taxas (variação com ao longo do tempo) e os índices i e j variam no intervalo { } 1,2 . Formulação do método dos elementos de contorno para placas considerando-se não-linearidades Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 49, p. 1-15, 2009 3 (a) (b) Figura 2 – Placa na configuração deformada: (a) forças atuantes e (b) momentos atuantes. • Relação aditiva em momento: ( ) { } ⎡ ⎤ = − = − δ ν + − ν − ⎣ ⎦ e p p ij ij ij ij kk ij ij M M M D w, 1 w, M (3) sendo e ij M e p ij M as parcelas elástica e plástica do momento, respectivamente; ( ) = − ν 3 2 D Et 12 1 a rigidez à flexão da placa; E e ν o módulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson do material, respectivamente; t a espessura da placa; ij w, a curvatura da placa; e δij o delta de Kronecker. • Relação aditiva em força normal: ⎡ ⎤ ν ⎛ ⎞ = − = ε + δ ε − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ − ν ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ e p s s p ij ij ij ij ij kk ij N N N 2Gt N 1 (4) sendo e ij N e p ij N as parcelas elástica e plástica da força normal, respectivamente; ( ) = + ν G E 2 1 o módulo de elasticidade transversal do material; e ε ij a deformação de membrana. A definição do problema fica completa considerando-se as seguintes condições de contorno sobre Γ : = i i u u em Γ1 (deslocamentos e rotações) e = i i p p em Γ2 (momentos fletores, forças cortantes equivalentes e forças de superfície), com Γ ∪Γ = Γ 1 2 . 3 EQUAÇÕES INTEGRAIS Nesta seção as equações integrais necessárias para a aplicação do MEC ao problema elastoplástico de placas considerando-se a não-linearidade geométrica serão apresentadas. As equações integrais para o problema de flexão de placas e para o problema de membrana podem ser obtidas a partir do Teorema da Reciprocidade de Betti aplicado aos campos de deformação e nas parcelas elásticas dos campos de tensão. Dessa forma são definidas as equações de deslocamento, tanto para o problema de flexão de placas quanto para o problema de membrana como segue: Leandro Waidemam & Wilson Sergio Venturini Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 49, p. 1-15, 2009 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ =

Formulação do método dos elementos de contorno para placas enrijecidas considerando-se não-linearidades física e geométrica