English (United Kingdom)

https://curated-unify.zendy.io/wp-json/zendy-region/v1/featured_content/oa?rat=en

https://curated-unify.zendy.io/wp-json/zendy-region/v1/highlighted_journal/

Global: Zendy Plus annual

Presents the access of premium content as premium feature

Premium Content

Presents the keyphrase highlighting as premium feature

Keyphrase Highlighting

Presents the summarisation as premium feature

Summarisation

Insights

Presents the pdf analysis as premium feature

PDF Analysis

Presents the zaia usage as premium feature

ZAIA

Global: Zendy Tools annual

Global: Zendy Free Plan

Global: Zendy Tools monthly

Global: Zendy Plus monthly

<p>We study a discrete time model of the growth of two species of plankton with competitive and allelopathic effects on each other <mml:math alttext="$N_{1}(k+1)=N_{1}(k)exp{r_{1}(k)-a_{11}(k)N_{1}(k)- a_{12}(k)N_{2}(k)-b_{1}(k)N_{1}(k)N_{2}(k)}$"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>exp</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>r</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$N_{2}(k+1)=N_{2}(k)exp{r_{2}(k)-a_{21}(k)N_{1}(k)-a_{22}(k)linebreak N_{2}(k)-b_{2}(k)N_{1}(k)N_{2}(k)}$"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>exp</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>r</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> A set of sufficient conditions is obtained for the existence of multiple positive periodic solutions for this model. The approach is based on Mawhin's continuation theorem of coincidence degree theory as well as some a priori estimates. Some new results are obtained.</p

Multiple periodic solutions for a discrete time model of plankton allelopathy