English (United Kingdom)

https://curated-unify.zendy.io/wp-json/zendy-region/v1/featured_content/oa?rat=en

https://curated-unify.zendy.io/wp-json/zendy-region/v1/highlighted_journal/

Zendy Open

Presents the pdf analysis as premium feature

PDF Analysis

Insights

Presents the summarisation as premium feature

Summarisation

Presents the keyphrase highlighting as premium feature

Keyphrase Highlighting

Presents the zaia usage as premium feature

ZAIA

Zendy Tools

Zendy Plus

Presents the access of premium content as premium feature

Premium Content

In a paper of 1950 Graves proved that for a function f acting between Banach spaces and an interior point x in its domain, if there exists a continuous linear mapping A which is surjective and the Lipschitz modulus of the difference f-A at x is sufficiently small, then f is (linearly) open at x. This is an extension of the Banach open mapping principle from continuous linear mappings to Lipschitz functions. A closely related result was obtained earlier by Lyusternik for smooth functions. In this paper, we obtain Lyusternik--Graves theorems for mappings of the form f+F, where f is a Lipschitz continuous function around x and F is a set-valued mapping. Roughly, we give conditions under which the mapping f+F is linearly open at x for y provided that for each element A of a certain set of continuous linear operators the mapping f(x) +A(. - x) + F is linearly open at x for y. In the case when F is the zero mapping, as corollaries we obtain the theorem of Graves as well as open mapping theorems by Pourciau and Páles, and a constrained open mapping theorem by Cibulka and Fabian. From the general result we also obtain a nonsmooth inverse function theorem proved recently by Cibulka and Dontchev. Application to Nemytskii operators and a feasibility mapping in control are presented.Graves ve svém článku z roku 1950 dokázal, že zobrazení f mezi Banachovými prostory, které je definované v okolí referenčního bodu x a pro které existuje spojitý lineární operátor A takový, že lipschitzovský modulus rozdílu f-A v referenčním bodě x je dostatečně malý, je otevřené v bodě x s lineárním řádem. Jedná se o zobecnění Banachovy věty o otevřeném zobrazení pro spojitý lineární operátor na lipschitzovsky spojité funkce. Podobný výsledek, pro případ hladkého zobrazení, byl dokázan dříve Lyusternikem. V článku je dokázána Lyusternikova-Gravesova věta pro zobrazení f+F, kde f je lipschitzovsky spojitá funkce na okolí bodu x a F je mnohoznačné zobrazení. Jsou prezentovány podmínky zajišťující, že zobrazení f + F je otevřené s lineárním řádem za předpokladu, že pro každý prvek A z určité množiny spojitých lineárních operátorů je zobrazení f(x) +A(. - x) + F otevřené s lineárním řádem v bodě x pro y. Pokud F je identicky nulové, dostáváme jakožto důsledek Gravesovu větu, věty o otevřeném zobrazení Pourciaua a Pálese, a větu o otevřeném zobrazení pro zobrazení s omezující množinou Cibulky a Fabiana. Dále pak dostáváme také větu o inverzní funkci pro nehladká zobrazení dokázanou nedávno Cibulkou a Dontchevem. V závěru je prezentována aplikace na Nemytského operátory a jistá zobrazení z teorie řízení

Lyusternik--Graves Theorems for the Sum of a Lipschitz Function and a Set-valued Mapping