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Soient  p  un nombre premier,  F  une extension finie de  Q   p  , et ψ un caractère additif non trivial de  F . La correspondance de Langlands donne une bijection σ ↦ π (σ) entre les représentations Φ–semisimples de dimension  n  du groupe de Weil–Deligne de  F , à isomorphisme près, et les représentations lisses irréductibles de, à isomorphisme près. Pour certaines représentations  r  du groupe dualde, on sait associer, par voie globale, à une représentation lisse irréductible π de, des facteurs  L (π,  r ,  s ) et ε (π,  r ,  s , ψ). On conjecture l’égalité  L (π (σ),  r ,  s ) =  L  ( r  ○ σ,  s ), et de même pour les facteurs ε, quand σ est une représentation de dimension  n  du groupe de Weil–Deligne de  F . Répondant à une question de D. Jiang et D. Soudry, nous prouvons que si  r  = Λ 2  ou, on a  L (π (σ),  r ,  s ) =  L  ( r  ○ σ,  s ) et ε (π (σ),  r ,  s , ψ) = α ε ( r  ○ σ,  s , ψ), où α est une racine de l’unité.

Correspondance de Langlands et Fonctions L des carrés Extérieur et Symétrique