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Let C be a hyperelliptic curve of genus g ≥ 1 over a discrete valuation field K. In this article we study the models of C over the ring of integers OK of K. To each Weierstrass model (that is a projective model arising from a hyperelliptic equation of C with integral coefficients), one can associate a (valuation of) discriminant. Then we give a criterion for a Weierstrass model to have minimal discriminant. We show also that in the most cases, the minimal regular model of C over OK dominates every minimal Weierstrass model. Some classical facts concerning Weierstrass models over OK of elliptic curves are generalized to hyperelliptic curves, and some others are proved in this new setting. Soit K un corps de valuation discrete, d’anneau de valuation OK . Soit C une courbe hyperelliptique de genre g ≥ 1 sur K (nous entendons par-la que C est propre lisse, et qu’il existe un morphisme C → PK de degre 2). On etudie dans ce travail les modeles de C sur OK , c’est-a-dire des schemas normaux propres et plats sur OK , a fibres generiques isomorphes a C. Plus precisement, on s’interesse aux modeles de Weierstrass de C sur OK . Ce sont des modeles provenant des equations hyperelliptiques de C a coefficients dans OK (def. 6). On etudie aussi la relation entre les modeles de Weierstrass et le modele regulier minimal de C sur OK . Pour tout modele de Weierstrass de C sur OK , il y a une notion evidente du discriminant (§4.3). Le discriminant minimal de C est un invariant particulierement important dans l’etude de l’arithmetique de C, comme en temoignent les travaux sur les courbes elliptiques. D’ailleurs, ce travail generalise certains resultats bien connus sur les modeles de Weierstrass entiers des courbes elliptiques. Dans les trois premiers paragraphes, on rappelle la notion du discriminant et on definit les equations minimales et le discriminant minimal de C. On montre de facon tout a fait elementaire que, sur un anneau principal, C admet une equation minimale globale (prop. 2). La notion du discriminant est liee au choix d’une involution hyperelliptique σ sur C. Si g ≥ 2, σ est unique. Par contre, si g = 1, cela n’est plus vrai. Dans §1, on etudie l’ensemble des classes de conjugaison (par les automorphismes interieurs de AutK(C)) des involutions hyperelliptiques de C, et on donne une estimation de Received by the editors August 22, 1995. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary 11G20, 14H25; Secondary 14G20.

Modèles entiers des courbes hyperelliptiques sur un corps de valuation discrète