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We say that a countable, Hausdorff, topological space with one and only one accumulation point is a point-space. For such a space, we give several properties which are equivalent to the property of being a k-space. We study some free filters on the set of integers and we determine if the associated point-spaces are k-spaces or not. We show that the filters of Lutzer-van MillPol are k-filters. We deduce that, for each countable ordinal α ≥ 2, there exists a free filter of true additive class α (Baire’s classification) and a free filter of true multiplicative class α for which the associated point-spaces are k-spaces but not א0, the existence being true in the additive case for α = 1. In particular, we answer negatively a question raised in J. Calbrix, C. R. Acad. Sci. Paris 305 (1987), 109–111. 1. Rappels, notations 1.1. Filtres libres sur l’ensemble des entiers. On note ω l’ensemble des entiers naturels. Un filtre F sur l’ensemble des entiers est dit libre si ⋂ F = ∅. Le filtre N des parties cofinies de ω est appelé filtre de Fréchet. C’est le filtre le moins fin parmi les filtres libres et un filtre F est libre ssi N ⊂ F . En identifiant une partie de ω à son indicatrice, un filtre F sur ω apparâit comme une partie de l’espace métrisable compact {0, 1} = 2 dit espace de Cantor. Pour les boréliens de 2, on utilise la classification de Baire (voir [1], [3], [6]), et pour tout ordinal dénombrable α, on note Aα (resp. Mα) la classe additive (resp. multiplicative) d’ordre α. De même, on note Fα (resp. Gα) les classes engendrées par les fermés (resp. les ouverts). Un élément β de 2 est noté (β0, β1, ...). Pour tout entier n, on pose β|n = (β0, ..., βn). L’ensemble des suites finies de 0 et de 1 est noté S. Soit s, s ′ ∈ S et β ∈ 2. On écrit s ⊂ s′ et s ⊂ β si s′ et β prolongent s. Pour tout s ∈ S, on note I(s) l’ensemble des β ∈ 2 tels que s ⊂ β. Naturellement, les I(s) forment une base de la topologie de 2. Pour tout x ∈ {0, 1}, on pose x = 1 − x. Pour tout s = (s0, s1, ..., sn) ∈ S, on pose s = (s0, s1, ..., sn−1, sn). 1.2. Espaces-point. Comme dans [2], nous dirons qu’un espace topologiqueX est un espace-point si X est un espace topologique, strictement dénombrable, séparé, n’ayant qu’un seul point d’accumulation (que l’on note ∞). On identifie X \ {∞} Received by the editors December 3, 1993. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary: 03E15, 04A15, 54-05, Secondary 54C35.

$k$-spaces and Borel filters on the set of integers