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We consider a complex smooth and proper surface X and a prime number I. We know that the invariant B2 — p represents the dimension of the vector space of classes of 2-forms of the second kind on X. Grothendieck has observed that B2 — p is an arithmetic invariant, and this leads naturally to interpret a 2-form of the second kind from an arithmetic point of view. By using Grothendieck's techniques we associate to each class a; of a 2-form of the second kind an element u>i of i-adic part of the Brauer group H2 (Xet, 0X ) of X. In the case where X is a fibered space on a curve, if one subjects this fibration to some given conditions (Artin), u>¡ is then also interpreted as an element of H1 (ret,i*J)(¡) or, in the equivalent manner, as an element of the Tate-Schafarievitch group IU1(C(r),7) studied by Ogg, where J is the Jacobian of the generic fiber of X and C(r) is the functions field of T. Reciprocally each element of the ¿-divisible part of III1 (C(r), J)y) comes from a 2-form of the second kind. This correspondence permits us to deduce some consequences on 2-forms of the second kind. Résumé. Soit X une surface lisse et propre sur C. On sait que si V C X est un ouvert affine (par exemple si V est le complémentaire d'un diviseur), H2{X, C)/{sous espace engendré par les classes des composantes Di de X\V} s'injecte dans H2{V, C). Prenant V de plus en plus petit, on en déduit que l'espace {2-formes de deuxième espèce sur X}l{dn/r] 1-forme sur X} est de dimension B2 — p. {B2 est le deuxième nombre de Betti de X; p est le nombre de Picard de X.) Or, si l est un nombre premier fixé et m un entier quelconque supérieur à un, le théorème de comparaison de Grothendieck nous dit que pour X une variété lisse quelconque sur C, H*{Xet,Z/lmZ) ~ H*{X,Z/lmZ) où H*{X,Z/lmZ) désigne la cohomologie classique de X = X{C). L'injection précédente induit donc l'injection correspondante H2{Xet,Z/lTMZ) r 2( _Z_\ {H0((Z//TMZ)A)} V /mZ/' Passant à la limite sur m et prenant V de plus en plus petit comme précédemment, on en déduit que toute classe de 2-formes de deuxième espèce /-adisée s'interprète comme une classe de 2-cohomologie étale /-adique du corps des fonctions C{X) de X à valeurs dans les entiers Z-adiques et plus précisément comme un élément de la partie /-adique Br(X)(¡) du groupe de Brauer Br(X) = H2{Xet, 0£) de X. Comme Br(X)(¡) est produit d'un Z;-module M libre de rang B2¿ pi {B2,t pi indépendant de l et égale à B2 — p par Grothendieck [5, p. 83]) et d'un groupe fini, réciproquement toute classe de M est le Z-adisé d'une forme de deuxième espèce classique. Dans le cas où X est fibrée sur une courbe r, n: X —* T, LT admettant Received by the editors January 22, 1985. 1980 Mathematics Subject Classification (1985 Revision). Primary 14H05; Secondary 14K20. ©1986 American Mathematical Society 0002-9939/86 $1.00 + $.25 per page

Remarque sur l’arithmétique des 2-formes différentielles de deuxième espèce