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On determine les polynomes (resp. les series formelles) nilpotents ou diviseurs de zero dans l'algebre des polynomes (resp. dans I'algebre large) sur un alphabet fini a coefficients dans un anneau unitaire commutatif. Ces resultats generalisent ceux de McCoy [1] et de D. E. Fields [3], qui correspondent au cas oui l'alphabet est reduit a un element. NOTATIONS. Soit X un ensemble fini appele alphabet; on notera X* le monoide libre engendre par X, e le mot vide de X*. Si A est un anneau commutatif unitaire, on designera par A((X)) l'algebre large sur X a coefficients dans A, par A (X) la sous-algebre des polyn6mes et par Arat((X)) l'algebre des series rationnelles sur X 'a coefficients dans A. Une serie formelle a de AK(X)) est dite quasi-inversible si (a, e)=O ((a, e) designant le coefficient de e dans l'ecriture de a); le quasi-inverse a * de a verifie la relation: a* = a + aa* = a + a*a. Rappelons la definition et la caracterisation des series rationnelles. DEFINITION [4]. AratK(X)) est la plus petite sous-algebre de A ((X)) contenant X et stable par quasi-inversion des e1ements quasi-inversibles. CARACTERISATION [4]. Une serie formelle a de A((X)) est rationnelle si et seulement si il existe un entier N_ 1 une matrice P de Mv(A) un homomorphisme , de X* dans le monoide multiplicatif Ml(A) telle que l'on ait: a= >J(a,f)f= > Tr(P1f)f. feX feX LEMME 1. Une condition ne&cessaire pour qu'une se'rie formelle a soit rationnelle est que l'ideal engendre par les coefficients de a dans l'anneau A soit de typefini. Received by the editors November 3, 1972. AMS (MOS) subject classifications (1970). Primary 16A34.

Éléments nilpotents et diviseurs de zéro dans les algèbres larges