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Let X be a smooth compactification of a homogeneous space of a linearalgebraic group G over a number field k. We establish the conjecture ofColliot-Th\'el\`ene, Sansuc, Kato and Saito on the image of the Chow group ofzero-cycles of X in the product of the same groups over all the completions ofk. When G is semisimple and simply connected and the geometric stabiliser isfinite and supersolvable, we show that rational points of X are dense in theBrauer-Manin set. For finite supersolvable groups, in particular for finitenilpotent groups, this yields a new proof of Shafarevich's theorem on theinverse Galois problem, and solves, at the same time, Grunwald's problem, forthese groups.    Soit X une compactification lisse d'un espace homog\`ene d'un groupealg\'ebrique lin\'eaire G sur un corps de nombres k. Nous \'etablissons laconjecture de Colliot-Th\'el\`ene, Sansuc, Kato et Saito sur l'image du groupede Chow des z\'ero-cycles de X dans le produit des m\^emes groupes sur tous lescompl\'et\'es de k. Lorsque G est semi-simple et simplement connexe et que lestabilisateur g\'eom\'etrique est fini et hyper-r\'esoluble, nous montrons queles points rationnels de X sont denses dans l'ensemble de Brauer-Manin. Pourles groupes finis hyper-r\'esolubles, en particulier pour les groupes finisnilpotents, cela donne une nouvelle preuve du th\'eor\`eme de Shafarevich surle probl\`eme de Galois inverse et r\'esout en m\^eme temps, pour ces groupes,le probl\`eme de Grunwald.

Z\'ero-cycles sur les espaces homog\`enes et probl\`eme de Galois inverse