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We study the generalized Dhombres functional equation  f(zf(z)) = ϕ(f(z))  in the complex domain. The function ϕ is given and we are looking for  solutions f with f(0) = w0  and w0 is a primitive root of unity of order  l ≥ 2. All formal solutions for this case are described in this work,  for the situation where ϕ can be transformed into a function which is  linearizable and local analytic in a neighbourhood of zero we also show that we obtain  local analytic solutions. We also discuss an example where it is possible to use other  methods than we use in the general case.Nous étudions la fonctionnelle de Dhombres  f(zf(z)) = ϕ(f(z)) dans  le plan complexe. La fonction ϕ est donnée et nous  cherchons les solutions f avec  f(0) = w0 où  w0 est une racine primitive de l’unité  d’ordre l ≥ 2. Nous décrivons dans ce travail toutes les solutions  formelles dans ce cas, et lorsque ϕ peut être transformée  en une fonction linéarisable et localement analytique au voisinage de zéro nous montrons  également comment obtenir des solutions analytiques locales. Nous discutons enfin un  exemple où il est possible d’utiliser des méthodes différentes de celles que nous mettons  en œuvre dans le cas général

Some aspects of the local theory of generalized Dhombres functional equations in the complex domain