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We consider the Cauchy problem in ℝd for a class of  semilinear parabolic partial differential equations that arises in some stochastic control  problems. We assume that the coefficients are unbounded and locally Lipschitz, not  necessarily differentiable, with continuous data and local uniform ellipticity. We  construct a classical solution by approximation with linear parabolic equations. The  linear equations involved can not be solved with the traditional results. Therefore, we  construct a classical solution to the linear Cauchy problem under the same hypotheses on  the coefficients for the semilinear equation. Our approach is using stochastic  differential equations and parabolic differential equations in bounded domains.  Finally, we apply the results to a stochastic optimal consumption problem.Nous considérons le problème de Cauchy dans  ℝd pour une classe d’équations aux dérivées  partielles paraboliques semi linéaires qui se pose dans certains problèmes de contrôle  stochastique. Nous supposons que les coefficients ne sont pas bornés et sont localement  Lipschitziennes, pas nécessairement différentiables, avec des données continues et  ellipticité local uniforme. Nous construisons une solution classique par approximation  avec les équations paraboliques linéaires. Les équations linéaires impliquées ne peuvent  être résolues avec les résultats traditionnels. Par conséquent, nous construisons une  solution classique au problème de Cauchy linéaire sous les mêmes hypothèses sur les  coefficients pour l’équation semi-linéaire. Notre approche utilise les équations  différentielles stochastiques et les équations différentielles paraboliques dans les  domaines bornés.  Enfin, nous appliquons les résultats à un problème stochastique de consommation  optimale

Existence and uniqueness to the Cauchy problem for linear and semilinear parabolic equations with local conditions