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Soient A et B des operateurs lineaires formels qui ne commutent pas necessairement entre eux. Des formules de directions alternees d'ordre eleve sont definies au moyen de M 1 (t) = 4/3 e tA/4 e tB/2 e tA/2 e tB/2 e tA/4 - 1/3 e tA/2 e tB e tA/2 M 2 (t) = 2/3 (e tA/2 e tB e tA/2 + e tB/2 e tA e tB/2 ) - 1/6 (e tA e tB + e tB e tA ) et au sens des series formelles formule math. Si a, a 0 , b et b 0 sont des fonctions strictement positives indefiniment differentiables de T 2 = (R/Z) 2 dans R, definissons des operateurs A et B par A = ∂/∂x 1 (a(x 1 , X 2 )∂/∂x 1 ) - a 0 (x 1 , X 2 ); B = ∂/∂x 2 (b(X 1 , X 2 ) ∂/∂x 2 ) - b 0 (X 1 , X 2 ). Les operateurs A et B engendrent des semi-groupes holomorphes dans L 2 (T 2 ) et les estimations suivantes ont lieu en norme d'operateurs dans L 2 (T 2 ) ∥M 1 (t)∥ = 1 + O(t) et ∥M 2 (t)∥ = 1 + O(t). De la nous deduisons qu'il existe une constante c telle que ∥M 1 (t/n) n ∥ ≤ e ct et ∥M 2 (t/n) n ∥ ≤ e ct et donc les formules (*) sont stables.

Commutateurs de certains semi-groupes holomorphes et applications aux directions alternées