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— Families of C piecewise polynomial spaces of degree r ^ 3 on triangles and quadrilatéral in two dimensions are constructed, and approximation properties of the families are studied. Examples of the use of the families in Galerkin methodsfor 2nd and 4th order elliptic boundary value problems on arbitrarily shaped domains are given. The approximation properties on the boundary are such that the rate of convergence of the Galerkin methods is the optimal rate determined by the degree r of the piecewise polynomial space. Résumé. — En dimension deux, on construit des familles d'espaces de classe C .formés de polynômes de degré r ^ 3 par morceaux, sur des triangles et des quadrilatères, et on étudie les propriétés d'approximation de ces familles. On en donne des exemples d'application à des méthodes de Galerkin pour les problèmes aux limites elliptiques du 2 et du 4 ordre posés sur des domaines déforme arbitraire. Les propriétés d'approximation de la frontière sont telles que le taux de convergence des méthodes de Galerkin est le taux optimal, déterminé par le degré r de V'espace des polynômes par morceaux.

A family of $C^1$ finite elements with optimal approximation properties for various Galerkin methods for 2nd and 4th order problems