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— A wellknown methodfor solving the word problem of a Jinite presented group given as HNN extension G* = (G, a; âua = (p(u),ueU > is to reduce it to the word problem of G by means ofan a-reductionfunction [1,3,4].// isshown that the complexity ofthisme thod dépends very strongly on the représentation ofG*. For any Grzegorczyck class S n, the complexity of the method applied to G* as above may be not less than in é\, while the method applied to an o ther présentation ofG*, G* = (H, s; svs = \\f (v), veY) may be of complexity in é\. For a recursively presented group G* the me thod applied to one présentation may not work at ail, while applied to an other présentation is very easy. Résumé. — Une méthode bien connue pour résoudre le problème des mots dans un groupe donné comme extension de HNN, G* = (G,a; aua = q>(u),ueU ) est de le réduire au problème des mots dans . G au moyen d'une fonction de a-réduction. On montre que la complexité de cette méthode dépend très fortement de la représentation de G*. Pour toute classe de Grzegorczyck S n, la complexité de la méthode, appliquée à G* donné comme ci-dessus peut être dans S n, alors que la même méthode, appliquée à une autre présentation de G*,G* = ( H, s; Ivs = \|/ {v), v e V),peut être de complexité dans ê A. Pour un groupe G* récursivement présenté, la méthode, appliquée à une certaine présentation, peut ne pas aboutir du tout, alors qu'elle est très facile pour une autre présentation.

An algorithm for the word problem in $HNN$ extensions and the dependence of its complexity on the group representation