Keller–Lieb–Thirring inequalities for Schrödinger operators on cylinders

This note is devoted to Keller-Lieb-Thirring spectral estimates for Schrodinger operators on infinite cylinders: the absolute value of the ground state level is bounded by a function of a norm of the potential. Optimal potentials with small norms are shown to depend on a single variable. The proof is a perturbation argument based on recent rigidity results for nonlinear elliptic equations on cylinders. Conversely, optimal single variable potentials with large norms must be unstable. The optimal threshold between the two regimes is established in the case of the product of a sphere by a line. Resume. Cette note est consacree a des estimations spectrales de Keller-Lieb-Thirring pour des operateurs de Schrodinger sur des cylindres infinis : la valeur absolue de l'´ etat fondamental est bornee par une fonction d'une norme du potentiel. Il est montre que les potentiels optimaux de petite norme ne dependent que d'une seule variable. La preuve provient d'un argument de perturbation qui repose sur des resultats de rigidite recents pour des equations elliptiques non-lineaires sur des cylindres. A l'inverse, les potentiels optimaux de grande norme qui ne dependent que d'une seule variable sont instables. La valeur optimale qui separe les deux regimes est etablie dans le cas du produit d'une sphere et d'une droite.