Sur la propagation de la propriété mild au-dessus d’une extension quadratique imaginaire de $$\varvec{\mathbb {Q}}$$ Q

International audienceIn this work, we are interested in the pro-p groups G_S , which are Galois groups of maximal pro-p extensions of number fields unramified outside a finite set S of primes not dividing p. We focus on whether the mildness property is preserved over imaginary quadratic extensions. Our starting point is Labute-Schmidt's criterion ([12]), based on the study of the cup-product on the first cohomology group H_1(G_S , F_p). In favourable conditions, we show by computation that the group we study often satisfies a weak version (LS_f) of Labute-Schmidt's criterion. Then, a theoretical criterion is established for proving mildness of some groups to which the (LS_f) criterion does not apply. This theoretical criterion is finally illustrated by examples for p = 3 and compared to Labute and Vogel's works ([9] et [16]).Nous nous intéressons dans ce travail aux pro-p groupes G_S , groupes de Galois de pro-p extensions maximales de corps de nombres non ramifiées en dehors d'un ensemble fini S de places ne divisant pas p, et plus particulièrement à la propagation de la propriété mild au-dessus d'une extension quadratique imaginaire. Notre point de départ est le critère de Labute-Schmidt ([12]), basé sur l'étude du cup-produit sur le groupe de cohomologie H_1(G_S , F_p). Dans un contexte favorable, nous montrons par le calcul que le groupe étudié vérifie souvent une version faible (LS_f) du critère de Labute-Schmidt. Un critère théorique est ensuite établi, permettant de montrer le caractère mild de certains groupes auxquels le critère (LS_f) ne s'applique pas. Ce critère théorique est enfin appliqué à des exemples pour p = 3 et comparé aux travaux de Labute et Vogel ([9] et [16])