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La construction du produit croise d'une algebre de von Neumann par un groupe continu d'automorphismes est a Forigine des resultats recents [2], [20]) dans Fetude de la structure des facteurs. Soit G un groupe localement compact. M. Landstad a remarque dans [12] l'interet des proprietes d'algebre de Hopf-von Neumann de L°°(G) et <3tt(G) (respectivement algebre des fonctions mesurables essentiellement bornees sur G et algebre de la representation reguliere gauche de G) pour traiter la construction des produits croises. La construction qu'il utilise s'interprete en fait comme une "action" de JM(G) (considere comme substitut dans le cas non-abelien du groupe dual de G) sur une algebre de von Neumann. Les algebres de Kac ([5], [17]) dont L°°(G) et <3M(G) sont des cas particuliers duaux l'un de Fautre, apparaissent alors comme devant fournir un cadre bien adapte ä une generalisation de la notion de produit croise. Celle-ci contenant a la fois la construction du produit croise par un groupe [20], et par un "dual de groupe" [13], [14]. Une premiere partie de ce travail a dejä ete faite [4], mais eile ne fournit pas tous les resultats dont on pouvait esperer la generalisation, notamment en ce qui concerne la dualite. Les obstacles techniques etant desormais leves, nous donnons ci-apres une theorie plus complete, qui permet de generaliser au cas des algebres de Kac le theoreme de dualite de M. Takesaki [20], le theoreme de commutation de T. Digernes [3] et la caracterisation des produits croises, due ä M. Landstad [12].

Produit croisé d'une algèbre de von Neumann par une algèbre de Kac. II