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Soient X une surface projective lisse et rationnelle, O_X(1) un fibre en droites tres ample sur X tel que K.O_X(1) < 0, r ≥ 2 et c2 des entiers et c1 ∈ H^2(X, ℤ). Soient M(r,c1,c2) la variete de modules des faisceaux semi-stables (relativement a O_X(1)) de rang r et de classes de Chern c1, c2 sur X, M^s(r,c 1,c2) l’ouvert de M(r,c1,c2) correspondant aux faisceaux stables. En general M(r,c1,c2)\M^s(r,c 1,c2) est exactement le lieu singulier de M(r,c1,c2). Soit E un faisceau semi-stable non stable de rang r et de classes de Chern c1, c2 sur X, z le point correspondant de M(r,c1,c2). Le gradue de la filtration de Jordan-Holder de E est de la forme Gr(E ) = (E_1 ⊗ ℂ^m1 ) ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ (E_k ⊗ ℂ^mk ) , les E_i etant des faisceaux stables et les mi des entiers positifs. On dit que z est de type 1 si on a c1(E_i)/rg(E_i)=c1(E)/rg(E) dans H^2(X, ℚ ), pour 1 ≤ i ≤ k , et de type 2 dans le cas contraire. On montre que sous certaines hypotheses, les anneaux locaux des points de type 1 sont factoriels, mais pas ceux des points de type 2.

Points non factoriels des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur une surface rationnelle.